無論要建立物理模型或處理微分方程問題，無非得先對控制方程式及邊界條件的來由認識清楚，其中運動邊界條件（Kinematic Boundary Condition，以下簡稱KBC）的推導涉及拉格朗日法（Lagrangian description）與尤拉法（Eulerian description）之間的轉換，對筆者而言深富啟發性，故誌之以饗同好。
【說明】
有別於動力邊界條件（Dynamic Boundary Condition，以下簡稱DBC）涉及力的要素，KBC著重於描述邊界的「空間」分佈，例如，河水沿著光滑不透水的底床流過，這個底床就是我們的邊界，給定一個座標系，我們通常以$B$表示底床高程：
$$B=（x,y,t）$$
問題來了，雖知底床的形狀以及其隨時間的變化，但這個式子要怎麼與「水體」的控制方程式聯繫起來呢？
答案是要從「粒子」的運動著手。
在說明粒子運動之前，得先知道，$B=（x,y,t）$這個式子本身，就是尤拉法的體現，它說明著空間中某種性質的時空分佈，我們可以藉由代入特定的座標與時間，得知該處的底床高程為何。
而針對粒子運動的描述，就是拉格朗日法，無論是描述其粒子的位置、或是該粒隨時間變化的性質。
通常粒子的位置以$\vec r =(x(t),y(t),z(t))$描述，給定時間，我們就知道粒子的位置，若將這個時間及得到的位置代入$B=B（x,y,t）$，我們就會知道在那個時間點，該粒子對應的底床高度。已知一個粒子運動的軌跡，代入到已知的場中，得到的，就是該粒子所具有的，「隨時間改變的某種狀態」，這樣的代入過程，用數學式描述即是
$$B=B（x(t),y(t),t）$$在此處，這個粒子在每個時刻都有其位置所對應的底床高程，這無非也是一種「狀態」，為了幫助理解，若以溫度場$T=T(x(t),y(t),z(t),t)$為例來構思或許更為直觀。
已知該粒子任一時刻的高度$z(t)$及其對應的底床高度$B（x(t),y(t),t）$，剩下的就是描述「水沿著底床流動」，這句話等價於粒子與底床總是同高，即
$$z(t)-B（x(t),y(t),t）＝0$$
這個關係式必須時時刻刻正確，且由於左手邊完全是時間的函數，可以對時間微分，得到
$$\frac {d(z(t)-B(t))}{dt}=\frac {dz}{dt}-\frac{\partial B}{\partial x}\frac {dx}{dt}-\frac{\partial B}{\partial y}\frac {dy}{dt}-\frac{\partial B}{\partial t}=0$$
其中$\frac {dz}{dt}、\frac {dx}{dt}、\frac {dy}{dt}$表示邊界上粒子的速度，然而在這一套解水體運動的方法中，我們只能解出向量場或純量場，完全無法得知水中各粒子的運動情形，所以，我們只是藉由粒子運動的思維，來刻劃出水體在邊界應該符合的物理限制，而用水體解出的速度場在邊界各方向的分量取代$\frac {dz}{dt}、\frac {dx}{dt}、\frac {dy}{dt}$，建立起與「水體」控制方程式有關係的條件式。
以上初步說明KBC的推導思維，KBC的運用甚廣，波浪力學中的自由水面KBC方程式即為經典例子之一，而今以地下水學門中的非拘限含水層其自由水面KBC為例，作一初步推導。
假設非拘限含水層有呈水平的下邊界，並以下邊界當作零位面，則，含水層各位置的水頭表示為：
$$h(x,y,z,t)=\frac {P}{\gamma}+z$$
其中$\gamma$為水的密度及重力加速度，在一般情況可視為定值。
現假設有一粒子循某種路徑在自由水面流動，其路徑以$\vec r =(x(t),y(t),z(t))$描述，代入上式得
$$h(x(t),y(t),z(t),t)=\frac {P(x(t),y(t),z(t),t)}{\gamma}+z(t)$$
同時對兩邊的式子時間微分，且因自由水面壓力為大氣壓，為定值，可得
$$\frac{\partial h}{\partial x}\frac {dx}{dt}+\frac{\partial h}{\partial y}\frac {dy}{dt}+\frac{\partial h}{\partial z}\frac {dz}{dt}+\frac{\partial h}{\partial t}=\frac {dz}{dt}$$
粒子的速度以達西法則的速度除以有效孔隙率表示，且假設所選的座標系統貼合於水利傳導係數張量的主對角軸，則上式可寫為
$$\frac {-1}{n_e}(\frac{\partial h}{\partial x}K_x\frac{\partial h}{\partial x}+\frac{\partial h}{\partial y}K_y\frac{\partial h}{\partial y}+\frac{\partial h}{\partial z}K_z \frac{\partial h}{\partial z})+\frac{\partial h}{\partial t}=\frac {-1}{n_e}K_z\frac{\partial h}{\partial z}$$
即
$$\frac {-1}{n_e}(K_x(\frac{\partial h}{\partial x})^2+K_y(\frac{\partial h}{\partial y})^2+K_z(\frac{\partial h}{\partial z} )^2+\frac{\partial h}{\partial t}=\frac {-1}{n_e}K_z\frac{\partial h}{\partial z}$$
此即非拘限含水層在自由水面處應該滿足的邊界條件。
