二維座標系旋轉

【動機】
向量在不同座標系中各有其表示型態，而最常見的情形乃二維旋轉，其轉換關係簡明易記，實用性高，是故撰文誌之。

【結論】
向量在正向旋轉後的新座標系表示為：旋轉矩陣乘以原向量。
逆轉換僅須挪動於$\sin\theta$前之負號。

【證明】
考慮$V=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$在逆時針旋轉$\theta$角後的新座標系，

表為$V'=\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$



由幾何關係得知

$x'=x\cos\theta+y\sin\theta$

$y'=-x\sin\theta+y\cos\theta$

因此

$$V'=\begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}V；（1）$$
上式即「旋轉矩陣」與「原向量」作用之結果。
若反矩陣存在，則二維反矩陣公式如下： $$A=\begin{pmatrix}a & b \\c & d\end{pmatrix}$$
$A^{-1}=\frac1{\det A}\begin{pmatrix}d & -b \\-c & a\end{pmatrix}$


$V'$在順時針旋轉$\theta$角後之原座標系表為$V$
$$V=\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}V'；（2）$$
比較式（1）跟（2）可知其轉換關係。